Astromauh vs Mizarino

Astromauh
Mizarino
fig.1

Consideriamo per prima cosa un quiz diverso da quello proposto da Mizarino. In questa nuova versione del quiz, utilizziamo tutti i dischi di Mizarino, tranne il primo che sostituiamo con un altro tipo di disco.

Questo nuovo disco, invece di avere una parte trasparente e tre parti opache, è completamente opaco a parte un minuscolo forellino, che sta in prossimità del bordo del disco, che ho disegnato come un pallino rosso.

In questo quiz, chiamiamolo il quiz di Astromauh, vogliamo calcolare quante probabilità ci sono che la luce passi attraverso questo forellino.
fig.2

Nel quiz di Astromauh, il forellino presente sul primo disco, individua un'area che ho colorato in giallo. I restanti dischi, che sono i normali dischi di Mizarino, per lasciar passare la luce attraverso questo forellino si debbono disporre in modo tale che, la bisettrice della loro zona trasparente, cada all'interno della zona gialla. Se anche una sola bisettrice, si posiziona al di fuori di questa area gialla, la luce non passerà.

Supponiamo che il numero dei dischi sia N = 2.
Nel quiz di Astromauh, le probabilità che la luce passi attraverso il forellino, sono 1/4, e non 1/2, come nel quiz di Mizarino.

Perchè sono date da:

P = (1/4) ^ (N-1)

fig.3

Passiamo adesso al quiz originale di Mizarino e supponiamo che le ruote siano sempre due.
N = 2

In questo caso però, la bisettrice della sua prima ruota, indicata dal pallino rosso, individua un settore giallo di 180° Perchè sarà sufficiente che la bisettrice della sua seconda ruota, cada a + - 90° gradi dalla bisettrice della prima ruota, affinchè la luce passi.

Sappiamo che nel quiz di Mizarino le probabilità sono:

P = N * (1/4) ^ (N-1)

E quindi per N = 2 sono 1/2.

Invece di vedere la zona colorata in giallo, come un'unica area di 180°, centrata sulla bisettrice, è consigliabile vederela come N aree, centrate su gli N punti di simmetria, opportunamente disposti. Vedi prossima figura.

fig.4

Gli N punti di simmetria, pallini blu (1 e 2), individuato N settori, in ciascuno dei quali le probabilità sono come quelle previste dal quiz di Astromauh. Perchè nel quesito di Mizarino, è sufficiente che le bisettrici dei dischi successivi al primo, cadano in uno di questi settori individuati dai 2 punti di simmetria.

Le probabilità del quiz di Mizarino, sono quindi N volte le probabilità del quiz di Astromauh. Le probabilità del quiz di Astromauh erano:
P = (1/4) ^ (N-1)
Le probabilità del quiz di Mizarino sono:
P = N * (1/4) ^ (N-1)

fig.5

Verifichiamo cosa succede se i dischi sono N = 3, anche per capire bene come bisogna piazzare i punti di simmetria.

Il primo disco di Mizarino si ferma con la bisettrice dell'aria trasparente, nel punto indicato dal pallino rosso.
fig.6

Anche in questo caso, piazziamo i primi due pallini azzurri, nella stessa posizione che avevano nel caso precedente, cosi' come faremo sempre.

Per quanto N possa variare, se tutti i dischi successivi al primo disco, hanno la bisettrice che cade entro 90° gradi, a destra o a sinistra, della bisettrice del primo disco, passerà almeno un po' di luce.

Il punto di simmetria N° 3 siccome N è dispari, lo posizioniamo esattamente nel punto della bisettrice del primo disco, creando cosi' un altro settore di 90° gradi.

A prima vista, sembrerebbe che siccome i tre settori che abbiamo creato hanno delle parti in comune, ci sia qualcosa di scorretto, ma non è cosi, perchè ciascuno di questi settori riporta il problema al quiz di Astromauh. Non importa se qualche pallino rosso, si troverà in più di un settore.

La condizione per cui la luce passa attraverso i dischi, è che tutti i pallini rossi successivi al primo, si trovino tutti concentrati in un medesimo settore centrato su un pallino blu.

Quindi in questo caso con N=3, i restanti due restanti pallini rossi, dovranno cadere entrambi in uno dei tre settori indicati.
fig.7fig.8
fig.9

Verifichiamo cosa succede se i dischi sono N = 4, anche per capire bene come bisogna piazzare i punti di simmetria.

Il primo disco di Mizarino si ferma con la bisettrice dell'aria trasparente, nel punto indicato dal pallino rosso.

fig.10

I primi due pallini blu, li piazzo come sempre a 45° a sinistra e a destra, del pallino rosso bisettrice del primo disco.

Siccome N è pari, mettiamo 2 pallini blu, a ridosso del pallino rosso, a 22.5° di distanza, sia alla sua destra che alla sua sinistra.
fig.11

Ciascuno di questi pallini di simmetria, si trovano al centro di un settore di 90° gradi che termina sull'altro pallino. Ho disegnato soltanto il settore centrato sul pallino 3, per non rendere troppo confuso il disegno. Ma c'è un altro settore che è centrato sul pallino 4. Abbiamo cosi' ottenuto 4 settori di 90° centrati su altrettanti pallini blu. Se le bisettrici, dei dischi restanti, N- 1 , che in questo caso sono 3, cadono tutti in uno di questi settori, la condizione del quiz di Mizarino è verificata e la luce passa.

I pallini blu, sono sempre N, e vanno piazzati incominciando da uno dei bordi della zona trasparente del primo disco di Mizarino.

Bisogna distinguere tra N pari e N dispari

Se N è dispari, uno di questi pallini, finisce esattamente sopra il pallino rosso del primo disco. e la distanza tra un pallino e l'altro è 90 / (N-1).

Se N è pari, i due pallini accanto al pallino rosso sono ad una distanza doppia rispetto agli altri, e la distanza tra un pallino e l'altro è 90 / N.
fig.12

Verifichiamo cosa succede se i dischi sono N = 10.

N è pari.

I pallini blu vanno intervallati ad una distanza 90/N = 90/10 = 9 gradi.

Il pallino rosso si salta a piè pari.

Ognuno di questi pallini blu, si trova al centro di un settore di 90°, determinando cosi' 10 settori. Le probabilità che i restanti (N-1) = 9 dischi, si fermino tutti e nove, in uno specifico settore, sono le probabilità del quiz di Astromauh, le probabilità che si fermino in uno qualsiasi di essi sono N volte di più, e sono quindi:

P = N * (1/4) ^ (N-1)

Ricapitolando, il pallino rosso rappresenta la bisettrice della parte trasparente del primo disco, ed è libero di posizionarsi dove vuole. Una volta che si è posizionato da qualche parte, il destino di tutti i restanti pallini rossi è segnato. Potranno lasciar passare un filo di luce soltanto se si troveranno tutti all'interno di un medesimo settore di 90° gradi, determinato da uno dei 10 pallini blu. Se immaginate di far ruotare questa figura, le distanze tra il puntino rosso e quelli blu, rimangono sempre le stesse, perchè i pallini blu "seguono" il pallino rosso, ovunque egli vada. I restanti pallini rossi, ossia le bisettrici dei dischi successivi al primo si fermeranno dove vogliono, se si fermano tutti in un aria, di 90 gradi, che ha il suo centro in un pallino blu, la luce passa, altrimenti no. Quindi i restanti dischi escluso il primo, che sono in numero (N-1) hanno ciascuno (1/4) di probabilità di fermarsi in un settore di 90°, supponiamo in quello determinato dal pallino blu numero 7. Le probabilità che si fermino tutti gli (N-1) pallini rossi sono quindi (1/4)^(N-1), ma siccome va altrettanto bene se si fermano tutti anche nei settori 1,2,3,4,5,6,8,9,10 oltre che il 7, le probabilità complessive che ha la luce di passare è data dalla somma delle probabilità, ed è quindi:

N * (1/4)^(N-1).

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